Потоки событий марковские случайные процессы потоки событий. Марковские случайные процессы и потоки событий Сущностные особенности не запланированного фактора

Потоком событий называют последовательность однородных собы­тий, появляющихся одно за другим в случайные моменты времени. При­меры: поток вызовов на телефонной станции; поток сбоев ЭВМ; поток заявок на проведение расчетов в вычислительном центре и т.п.

Поток событий наглядно изображается рядом точек с абсциссами Q 1, Q 2 , ..., Q n , ... (рис. 6.15) с интервалами между ними: Т 1 = Q 2 - Q 1, T 2 = Q 3 -Q 2 , ..., Т п = Q n +1 - Q n . При его вероятностном описании поток событий может быть представлен как последовательность случайных ве­личин:

Q 1 ; Q 2 = Q 1 + T 1 ; Q 3 = Q 1 + T 1 + T 2 ; и т.д.

На рисунке в виде ряда точек изображен не сам поток событий (он случаен), а только одна его конкретная реа­лизация.

Поток событий называется стационар­ным, если его вероятностные характеристики не зависят от выбора начала отсчета или, более конкретно, если вероятность попадания того или другого числа событий на любой интервал времени зависит только от длины этого интервала и не зависит от того, где именно на оси 0-t он расположен.

Рисунок 6.15 – Реализация потока событий

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный интервал времени двух или более событий пренебре­жимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Рисунок 6.16 – Поток событий как случайный процесс

Ординарный поток событий можно интерпретировать как случайный процесс Х(t) - число событий, появившихся до момента t(рис. 6.16). Случайный процесс Х(t) скачкообразно возрастает на одну единицу в точках Q ,Q 2 ,...,Q n .

Поток событий называется потоком без последействия, если число собы­тий, попадающих на любой интервал времени , не зависит от того, сколь­ко событий попало на любой другой не пересекающийся с ним интервал. Практически отсутствие последействия в потоке означает, что события, образующие поток, появляются в те или другие моменты времени незави­симо друг от друга.

Поток событий называется простейшим, если он стационарен, ордина­рен и не имеет последействия. Интервал времени T между двумя соседними событиями простейшего потока имеет показательное распределение

(при t>0 ); (6.21)

где / М [Т] -величина, обратная среднему значению интервала Т.

Ординарный поток событий без последействия называется пуассоновским. Простейший поток является частным случаем стационарного пуассоновского потока. Интенсивностью потока событий называется среднее число событий, приходящееся на единицу времени. Для стационарного потока ; для нестационарного потока она в общем случае зависит от времени: .

Марковские случайные процессы . Случайный процесс называют марковским , если он обладает следующим свойством: для любого момента времени t 0 вероят­ность любого состояния системы в будущем (при t >t 0 ) зависит только от ее состояния в настоящем (при t =t 0 ) и не зависит от того, каким обра­зом система пришла в это состояние.

В данной главе будем рассматривать только марковские процессы c дискретными состояниями S 1, S 2 , ...,S n . Такие процессы удобно иллюст­рировать с помощью графа состояний (рис. 5.4), где прямоугольниками (или кружками) обозначены состояния S 1 , S 2 , … системы S, а стрелками - возможные переходы из состояния в состояние (на графе отме­чаются только непосредственные переходы, а не переходы через другие состояния).

Рисунок 5.4 – Граф состояний случайного процесса

Иногда на графе состояний отмечают не только возможные пере­ходы из состояния в состояние, но и возможные задержки в прежнем состоянии; это изображается стрелкой («петлей»), направленной из данного состояния в него же, но можно обходиться и без этого. Число состояний системы может быть как конечным, так и бесконечным (но счетным).

Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и дис­кретным временем обычно называют марковской цепью. Для такого про­цесса моменты t 1 , t 2 ..., когда система S может менять свое состояние, удобно рассматривать как последовательные шаги процесса, а в качестве аргумента, от которого зависит процесс, рассматривать не время t, а номер шага: 1, 2, . . ., k;…. Случайный процесс в этом случае характеризуется последовательностью состояний

если S(0) - начальное состояние системы (перед первым шагом); S(1) - состояние системы непосредственно после первого шага; ...; S(k) - со­стояние системы непосредственно после k-го шага....

Событие S i , (i= 1,2,...) является случайным событием, поэтому последо­вательность состояний (5.6) можно рассматривать как последователь­ность случайных событий. Начальное состояние S(0) может быть как заданным заранее, так и случайным. О событиях последовательности (5.6) говорят, что они образуют марковскую цепь.

Рассмотрим процесс с n возможными состояниями S 1, S 2 , ..., S n . Если обозначить через Х(t) номер состояния, в котором находится система S в мо­мент t, то процесс описывается целочисленной случай­ной функцией Х(t)>0 , возможные значения которой равны 1, 2,...,n . Эта функция совершает скачки от одного целочисленного значения к другому в заданные моменты t 1 , t 2 , ... (рис. 5.5) и является непрерывной слева, что отмечено точками на рис. 5.5.

Рисунок 5.5 – График случайного процесса

Рассмотрим одномерный закон распределения случайной функции Х(t). Обозначим через вероятность того, что после k -го шага [и до (k+1 )-го] система S будет в состоянии S i (i=1,2,...,n) . Веро­ятности р i (k) называются вероятностями состояний цепи Маркова. Очевидно, для любого k

. (5.7)

Распределение вероятностей состояний в начале процесса

p 1 (0) ,p 2 (0),…,p i (0),…,p n (0) (5.8)

называется начальным распределением вероятностей марковской цепи. В частности, если начальное состояние S(0) системы S в точности извест­но, например S(0)=S i , то начальная вероятность P i (0) = 1, а все остальные равны нулю.

Вероятностью перехода на k -м шаге из состояния S i в состояние S j называется условная вероятность того, что система после k -го шага окажется в состоянии S j при условии, что непосредственно перед этим (после k - 1 шагов) она находилась в состоянии S i . Вероятности перехода иногда называются также «переходными вероятностями».

Марковская цепь называется однородной, если переходные вероятности не зависят от номера шага, а зависят только от того, из какого состоя­ния и в какое осуществляется переход:

Переходные вероятности однородной марковской цепи Р ij образуют квадратную таблицу (матрицу) размером n * n :

(5.10)

. (5.11)

Матрицу, обладающую таким свойством, называют стохастической. Вероятность Р ij есть не что иное, как вероятность того, что система, при­шедшая к данному шагу в состояние S j , в нем же и задержится на очеред­ном шаге.

Если для однородной цепи Маркова заданы начальное распределение вероятностей (5.8) и матрица переходных вероятностей (5.10), то вероятности состояний системы могут быть опреде­лены по рекуррентной формуле

(5.12)

Для неоднородной цепи Маркова вероятности перехода в матрице (5.10) и формуле (5.12) зависят от номера шага k .

Для однородной цепи Маркова, если все состояния являются сущест­венными, а число состояний конечно, существует предел определяемый из системы уравнений и Сумма переходных вероятностей в любой строке матрицы равна единице.

При фактических вычислениях по формуле (5.12) надо в ней учитывать не все состояния S j , а только те, для которых переходные вероятности отличны от нуля, т.е. те, из которых на графе состояний ведут стрелки в состояние S i .

Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем иногда называют «непрерывной цепью Маркова» . Для такого процесса вероятность перехода из состояния S i в S j для любого момента времени равна нулю. Вместо вероятности перехода p ij рассматривают плотность вероятности перехода которая определяется как предел отношения вероятности перехода из состояния S i в состояние S j за малый промежуток времени , примыкающий к моменту t, к длине этого промежутка, когда она стремится к нулю. Плотность вероятности перехо­да может быть как постоянной (), так и зависящей от времени . В первом случае марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем называется однородным. Типичный пример такого процесса - случайный процесс Х(t), представ­ляющий собой число появившихся до момента t событий в простейшем потоке (рис. 5.2).

При рассмотрении случайных процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем удобно представлять переходы системы S из состояния в состояние как происходящие под влиянием некоторых по­токов событий. При этом плотности вероятностей перехода получают смысл интенсивностей соответствующих потоков событий (как только происходит первое событие в потоке с интенсивностью , система из со­стояния S i скачком переходит в Sj) . Если все эти потоки пуассоновские, то процесс, протекающий в системе S, будет мар­ковским.

Рассматривая марковские случайные процессы с дискретными со­стояниями и непрерывным временем, удобно пользоваться гра­фом состояний, на котором против каждой стрелки, ведущей из состоя­ния S i , в S j проставлена интенсивность потока событий, переводящего систему по данной стрелке (рис.5.6). Такой граф состояний называ­ют размеченным.

Вероятность того, что система S, находящаяся в состоянии S i , за эле­ментарный промежуток времени () перейдет в состояние S j (эле­мент вероятности перехода из S i в S j ), есть вероятность того, что за это время dt появится хотя бы одно событие потока, переводящего систему S из S i в S j . С точностью до бесконечно малых высших порядков эта вероятность равна .

Потоком вероятности перехода из состояния Si в Sj называется вели­чина (здесь интенсивность может быть как зависящей, так и не­зависящей от времени).

Рассмотрим случай, когда система S имеет конечное число состояний S 1, S 2 ,..., S п. Для описания случайного процесса, протекающего в этой системе, применяются вероятности состояний

(5.13)

где р i (t) - вероятность того, что система S в момент t находится в состоя­нии S i:

. (5.14)

Очевидно, для любого t

Для нахождения вероятностей (5.13) нужно решить систему диф­ференциальных уравнений (уравнений Колмогорова), имеющих вид

(i=1,2,…,n),

или, опуская аргумент t у переменных р i ,

(i=1,2,…,n ). (5.16)

Напомним, что интенсивности потоков ij могут зависеть от времени .

Уравнения (5.16) удобно составлять, пользуясь размеченным гра­фом состояний системы и следующим мнемоническим правилом: произ­водная вероятности каждого состояния равна сумме всех потоков веро­ятности, переводящих из других состояний в данное, минус сумма всех потоков вероятности, переводящих из данного состояния в другие. Напри­мер, для системы S, размеченный граф состояний которой дан на рис. 10.6, система уравнений Колмогорова имеет вид

(5.17)

Так как для любого t выполняется условие (5.15), можно любую из вероятностей (5.13) выразить через остальные и таким образом уменьшить число уравнений на одно.

Чтобы решить систему дифференциальных уравнений (5.16) для вероятностей состояний р 1 (t) p 2 (t ), …, p n (t ), нужно задать начальное распределение вероятностей

p 1 (0),p 2 (0), …,p i (0), …,p n (0 ), (5.18)

сумма которых равна единице.

Если, в частности, в начальный момент t = 0 состояние системы S в точности известно, например, S(0) =S i , и р i (0) = 1, то остальные вероятноcти выражения (5.18) равны нулю.

Во многих случаях, когда процесс, протекающий в системе, длится достаточно долго, возникает вопрос о предельном поведении ве­роятностей р i (t) при . Если все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются простейшими (т.е. стацио­нарными пуассоновскими с постоянными интенсивностями ), в неко­торых случаях существуют финальные (или предельные) вероятности со­стояний

, (5.19)

независящие от того, в каком состоянии система S находилась в началь­ный момент. Это означает, что с течением времени в системе S устанавли­вается предельный стационарный режим, в ходе которого она переходит из состояния в состояние, но вероятности состояний уже не меняются. В этом предельном режиме каждая финальная вероятность может быть истолкована как среднее относительное время пребывания системы в дан­ном состоянии.

Систему, в которой существуют финальные вероятности, называют эргодической. Если система S имеет конечное число состояний S 1 , S 2 , . . . , S n , то для су­ществования финальных вероятностей достаточно, чтобы из любого со­стояния системы можно было (за какое-то число шагов) перейти в любое другое. Если число состояний S 1 , S 2 , . . . , S n , бесконечно, то это условие перестает быть достаточным, и существование финальных вероятностей зависит не только от графа состояний, но и от интенсивностей .

Финальные вероятности состояний (если они существуют) могут быть получены решением системы линейных алгебраических уравнений, они получаются из дифференциальных уравнений Колмогорова, если по­ложить в них левые части (производные) равными нулю. Однако удобнее составлять эти уравнения непосредственно по графу состояний, пользу­ясь мнемоническим правилом: для каждого состояния суммарный выхо­дящий поток вероятности равен суммарному входящему. Например, для системы S, размеченный граф состояний которой дан на р ис. 5.7, уравнения для финальных вероятностей состояний имеют вид

(5.20)

Таким образом, получается (для системы S с п состояниями) система n однород­ных линейных алгебраических уравнений с n неизвест­ными р 1, р 2 , ..., р п. Из этой системы можно найти неизвестные р 1 , р 2 , . . . , р п с точностью до произвольного множителя. Чтобы найти точные значения р 1 ,..., р п, к уравнениям добавляют нормировочное условие p 1 + p 2 + … + p п =1, пользуясь которым можно выразить любую из ве­роятностей p i через другие (и соответственно отбросить одно из уравне­ний).

Вопросы для повторения

1 Что называют случайной функцией, случайным процессом, сечением случайного процесса, его реализацией?

2 Как различаются случайные процессы по своей структуре и характеру протекания во времени?

3 Какие законы распределения случайной функции применяют для описания случайной функции?

4 Что представляет собой функция математического ожидания случайной функции, в чем ее геометрический смысл?

5 Что представляет собой функция дисперсии случайной функции, в чем ее геометрический смысл?

6 Что представляет собой корреляционная функция случайного процесса, и что она характеризует?

7 Каковы свойства корреляционной функции случайного процесса?

8 Для чего введено понятие нормированной корреляционной функции?

9 Объясните как по опытным данным получить оценки функций характеристик случайного процесса?

10 В чем отличие взаимной корреляционной функции от автокорреляционной функции?

11 Какой случайный процесс относят к стационарным процессам в узком смысле и в широком?

12 В чем заключается свойство эргодичности стационарного случайного процесса?

13 Что понимают под спектральным разложением стационарного случайного процесса и в чем его необходимость?

14 Какова связь между корреляционной функцией и спектральной плотностью стационарной случайной функции?

15 Что называют простейшим потоком событий?

16 Какой случайный процесс называют марковской цепью? В чем заключается методика расчета ее состояний?

17 Что представляет собой марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем?

M(U)=10, D(U)=0.2 .

6.5 Найти нормированную взаимную корреляционную функцию случайных функций X(t)=t*U и Y(t)=(t+1)U , где U – случайная величина, причем дисперсия D(U)=10 .

Транскрипт

1 АН Моисеев АА Назаров Асимптотический анализ высокоинтенсивного полумарковского потока 9 УДК 5987 АН Моисеев АА Назаров Асимптотический анализ высокоинтенсивного полумарковского потока событий Представлено исследование высокоинтенсивного полумарковского потока событий Показано что для рассматриваемого потока распределение вероятностей числа событий наступивших за фиксированный интервал времени при условии неограниченного роста интенсивности потока может быть аппроксимировано нормальным распределением В работе получены параметры этого распределения Ключевые слова: высокоинтенсивный поток событий полумарковский поток асимптотический анализ Одним из базовых элементов систем и сетей массового обслуживания является входящий поток заявок Современные телекоммуникационные сети и системы распределенной обработки информации предполагают высокую пропускную способность каналов передачи информации Таким образом в этих системах количество пакетов данных поступающих на обработку в единицу времени очень высоко В терминах теории массового обслуживания в таких случаях говорят о высокой интенсивности входящего потока В частности в работе модель высокоинтенсивного потока применяется для моделирования потока входящих сообщений многофазной системы распределенной обработки данных В работах были изучены свойства высокоинтенсивных рекуррентных MMPP- и MAPпотоков В настоящей же работе представлен анализ свойств высокоинтенсивного полумарковского (Semi-Markovian или SM-) потока как наиболее общей модели потоков событий Математическая модель Рассмотрим полумарковский поток однородных событий заданный следующим образом Пусть {ξ n τ n } стационарный двумерный марковский процесс с дискретным временем Здесь ξ n дискретная компонента принимающая значения от до K τ n непрерывная компонента принимающая неотрицательные значения Будем полагать что эволюция процесса определяется элементами так называемой полумарковской матрицы A (x) = { Ak ν } k ν= следующим K образом: x Akν (x) = P ξ n+ =ν τ n+ < ξ n = k N Здесь N некоторая большая величина которая введена искусственно чтобы явным образом подчеркнуть малость величин τ n В теоретических исследованиях будем полагать N и таким образом τ n На практике полученные результаты можно использовать для аппроксимации соответствующих величин при достаточно больших значениях N (в условии высокой интенсивности потока) Пусть в момент времени t = произошло изменение состояния процесса {ξ n τ n } Последовательность моментов времени t n определяемая рекуррентным выражением tn+ = tn+τ n+ для n = называется полумарковским потоком случайных событий определяемым полумарковской матрицей A(x) Процесс ξ n =ξ(t n) называют вложенной в полумарковский поток цепью Маркова Поскольку средняя длина интервалов τ n обратно пропорциональна N то при N интенсивность наступления событий в таком потоке будет неограниченно расти Такой поток событий будем называть высокоинтенсивным полумарковским или HISM-потоком (от High-Intensive Semi- Markovian) Ставится задача нахождения числа событий m(t) наступивших в этом потоке в течение интервала времени (t) Вывод уравнений Колмогорова Пусть z(t) длина интервала времени от момента t до момента наступления следующего события в потоке; k(t) случайный процесс значения которого на каждом из интервалов = () Отсюда получаем матричное дифференциальное уравнение относительно функции R(z): R (z) = R ()[ I A (z) ] (3) граничное условие для которого при z имеет вид R () = λr (4) где λ некоторый коэффициент вектор-строка r есть стационарное распределение состояний вложенной цепи Маркова Этот вектор является решением уравнения Колмогорова r= r P где P= lim A (z) есть стохастическая матрица определяющая вероятности переходов вложенной цепи z Маркова Таким образом решение уравнения (3) имеет вид z R() z = R ()[ I A () x ] dx (5) Пусть R= R () есть стационарное распределение значений полумарковского процесса k(t) тогда при z из (5) получаем R= R ()[ I A(x) ] dx=λ r[ I A(x) ] dx=λr [ P A(x) ] dx=λra (6) где A матрица с элементами Akν = [ Pkν Akν(x) ] dx Умножая левую и правую части равенства (6) на единичный вектор-столбец E получим RE = =λrae откуда находим значение коэффициента λ: λ= (7) rae Доклады ТУСУРа 3 (9) сентябрь 3

3 АН Моисеев АА Назаров Асимптотический анализ высокоинтенсивного полумарковского потока jum Введем обозначение Hkuzt () = e Pkmzt () где j = мнимая единица а u некоторая переменная Умножая () на e jum и суммируя по m от до получаем m= Hkuzt () Hkuzt () Hku (t) K ju Hku (t) = + e Aν k (z) N ν= С учетом обозначения в виде вектор-строки H(u z t) = {H(u z t) H(K u z t)} данное уравнение примет вид H(uzt) H(uzt) H(u t) ju = + e A(z) I (8) N Дифференциальное матричное уравнение (8) будем решать асимптотически методом в условии неограниченно растущей интенсивности λn рассматриваемого полумарковского потока те при N Асимптотика первого порядка Введем обозначения N =ε u= ε w H(uzt) = F (wzt ε) Из (8) получим F(wzt ε) F(wzt ε) F(w t ε) jwε ε = + e A(z) I (9) Теорема Асимптотическое решение F(wzt) = lim F (wzt ε) уравнения (9) имеет вид ε () () jw λ F wzt = R ze t () где R(z) определяется выражением (5) Доказательство Выполним в (9) предельный переход ε получим уравнение F(wzt) F(w t) = + [ A(z) I ] которое имеет вид аналогичный () Следовательно функцию F (w z t) можно представить в виде F(wzt) = R (z) Φ(wt) () где Φ (w t) некоторая скалярная функция Выполним в (9) предельный переход z и просуммируем все компоненты этого уравнения (для этого умножим справа обе его части на единичный вектор-столбец E) Получим F(w t ε) F(w t ε) ε E= e P I E Подставим сюда выражение () воспользуемся разложением e = + jε w+ O(ε) поделим обе части на ε и произведем предельный переход ε: Φ(wt) RE = jwr () PE Φ(wt) откуда с учетом (4) получаем дифференциальное уравнение относительно функции Φ (w t): Φ(wt) = jwλφ (wt) Решая это уравнение при начальном условии Φ (w) = получаем решение jwλt Φ (wt) = e Подставим это выражение в () получим () Теорема доказана ju Nt Асимптотика второго порядка Выполним в (8) замену H(uzt) = H (uzte) λ: H(uzt) H(uzt) H(u t) ju + juλ H(u z t) = + e A(z) I () N Введем обозначения N =ε u= ε w H(uzt) = F (wzt ε) (3) Доклады ТУСУРа 3 (9) сентябрь 3

4 УПРАВЛЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАТИКА Тогда () перепишется в виде F(wzt ε) F(wzt ε) F(w t ε) ε + λf (wzt ε) = + e A(z) I (4) Теорема Асимптотическое решение F(wzt) = lim F (wzt ε) уравнения (4) имеет вид ε (jw) F (wzt) = R (z)exp (λ+κ) t (5) где R(z) определяется выражением (5) κ= fe (6) вектор-строка f удовлетворяет системе линейных алгебраических уравнений f I P =λ rp R λ a (7) f AE= a = rae A = x da (x) Доказательство Выполним в (4) предельный переход ε получим уравнение F(wzt) F(w t) = + [ A(z) I ] которое имеет вид аналогичный () Следовательно функцию F (w z t) можно представить в виде F(wzt) = R (z) Φ(wt) (8) где Φ (w t) некоторая скалярная функция Решение уравнения (4) будем искать в виде разложения F(wzt ε) =Φ (wt) R(z) + jε wf (z) + O(ε) (9) где f(z) некоторая вектор-функция (строка) Подставляя это выражение в (4) и применяя разложение e = + jε w+ O(ε) после некоторых преобразований получим { } λφ (wt) R() z=φ (wt) R() z+ f () z+ R() A() z I + R() A() z+ f () A() z I+ A () z + O(ε) Учитывая (3) (4) поделив обе части на jεw и сокращая Φ (w t) получаем λ R(z) = f (z) +λ ra(z) + f ()[ A(z) I ] + O(ε) Отсюда при ε получаем дифференциальное уравнение относительно неизвестной векторфункции f(z) f (z) = f ()[ I A(z) ] λ[ ra(z) R (z) ] интегрируя которое при начальном условии f() = получаем выражение z f(z) = { f ()[ I A(x) ] λ[ ra(x) R (x) ]} dx () Будем искать f(z) в классе функций удовлетворяющих условию lim { f ()[ I A(x) ] λ[ ra(x) R (x) ]} = x Отсюда получаем f ()[ I P] λ[ rp R ] = () Вычитая левую часть этого равенства из подынтегрального выражения () с учетом (6) получаем f() = f () A+λrA λ [ R R (x) ] dx () Можно показать что [ R R (x) ] dx= λ ra где A = x da (x) С учетом этого умножая обе части () справа на единичный вектор E получим Доклады ТУСУРа 3 (9) сентябрь 3

5 АН Моисеев АА Назаров Асимптотический анализ высокоинтенсивного полумарковского потока 3 λ a [ f () A f()] E = (3) где a = rae Полагая что f() E = и обозначая f = f () из () и (3) получаем систему уравнений (7) Выполним в (4) предельный переход z и домножим обе части уравнения на E справа получим F(w t ε) F(w t ε) jw (w t) jw jw (w t) ε ε e F ε ε E+ ε λf ε E= P I E= E (e) () 3 Подставим сюда (9) и применим разложение e = + jε w+ + O(ε) получаем Φ(wt) (jεw) 3 ε RE+ λφ (wt) RE =Φ (wt)[ R () + f ()] E jw ε + + O(ε) Приводя подобные сокращая на ε используя обозначение (6) и переходя к пределу при ε получаем следующее дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции Φ (w t): Φ(wt) (jw) = Φ(wt) (λ+κ) (jw) решая которое при начальном условии Φ (w) = получаем Φ (wt) = exp (λ+κ) t Подставляя это выражение в (8) получаем (5) Теорема доказана Аппроксимация распределения числа событий наступивших в HISM-потоке Выполняя в (5) замены обратные к (3) и возвращаясь к функции H(u z t) получаем (ju) H(u z t) R (z)exp juλ Nt + (λ+κ) Nt Таким образом характеристическая функция числа событий наступивших в высокоинтенсивном полумарковском потоке в течение времени t удовлетворяет соотношению (ju) hut () = H(u t) E exp juλ Nt+ (λ+κ) Nt То есть при достаточно больших значениях N распределение числа событий наступивших в HISM-потоке за время t может быть аппроксимировано нормальным распределением с математическим ожиданием λnt и дисперсией (λ + κ)nt где λ и κ определяются выражениями (7) и (6) Численные результаты В качестве примера для численных расчетов рассмотрим задачу моделирования событий в высокоинтенсивном полумарковском потоке заданном полумарковской матрицей A(x) третьего порядка записанной в форме A(x) = P * G(x) где P стохастическая матрица; G(x) матрица составленная из некоторых функций распределения; операция * адамарово произведение матриц Будем рассматривать пример когда элементы матрицы G(x) соответствуют функциям гамма-распределения с параметрами формы α kν и масштаба β kν k ν = 3 которые представим в виде матриц α и β соответственно Выберем следующие конкретные значения параметров: P = 3 5 α = 5 4 β = В результате расчетов получили следующие значения параметров: λ 99; κ 96 Для данной задачи было выполнено имитационное моделирование потока при значениях N = 3 и построены эмпирические распределения числа событий в интервалах длины t = Ряды распределений эмпирических данных и соответствующих аппроксимаций для N = и N = представлены графически на рис (для остальных значений N графики практически совпадают и на рисунке становятся неразличимы) Доклады ТУСУРа 3 (9) сентябрь 3

6 4 4 УПРАВЛЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАТИКА 5 8 N = N = Рис Сравнение полигона относительных частот эмпирического распределения () и аппроксимирующего ряда распределения () Для оценки точности аппроксимации распределения будем использовать расстояние Колмогорова Dq = sup Fq(x) F(x) Здесь F q (x) эмпирическая функция распределения F(x) функция x распределения нормальной случайной величины с найденными выше характеристиками В таблице представлены Зависимость качества аппроксимации от величины N N δ относительные погрешности вычисления математического a δ D D q 8% 6% 464 ожидания δ a и дисперсии δ D а также расстояние Колмогорова D q для рассмотренных случаев 9% 7% % 5% На рис представлен график демонстрирующий % 4% 44 убывание расстояния Колмогорова между эмпирическим и 8% % аналитическим (нормальным) распределениями с ростом значения N D q Можно заметить что уже при 5 N > 3 достигается достаточно высокое качество гауссовской аппроксимации числа событий в рассмотренном высокоинтенсивном полумар- 4 ковском потоке (расстояние Колмогорова не превышает) 3 Рис Изменение расстояния Колмогорова D q в зависимости от интенсивности потока (логарифмическая шкала по N) N Заключение В работе представлено исследование высокоинтенсивного полумарковского потока событий Показано что в условии неограниченного роста его интенсивности распределение числа событий наступивших в данном потоке в течение интервала времени фиксированной длины может быть аппроксимировано нормальным распределением В работе получены параметры этого распределения Рассмотренные числовые примеры демонстрируют применимость полученных асимптотических результатов для HISM-потоков событий Аналогичные результаты были получены ранее и для других типов высокоинтенсивных потоков: рекуррентного MMPP MAP Доклады ТУСУРа 3 (9) сентябрь 3

7 АН Моисеев АА Назаров Асимптотический анализ высокоинтенсивного полумарковского потока 5 Литература Гнеденко БВ Введение в теорию массового обслуживания / БВ Гнеденко ИН Коваленко 4-е изд испр М: Изд-во ЛКИ 7 4 с Грачев ВВ Многофазная модель массового обслуживания системы распределенной обработки данных / ВВ Грачев АН Моисеев АА Назаров ВЗ Ямпольский // Доклады ТУСУРа (6) ч С Moiseev A Investigation of High Intensive General Flow / A Moiseev A Nazarov // Proc of the IV International Conference «Problems of Cybernetics and Informatics» (PCI) Baku: IEEE P Moiseev A Investigation of the High Intensive Markov-Modulated Poisson Process / A Moiseev A Nazarov // Proc Of The International Conference On Application Of Information And Communication Technology And Statistics In Economy And Education (ICAICTSEE-) Sofia: University Of National And World Economy P Моисеев АН Исследование высокоинтенсивного MAP-потока / АН Моисеев АА Назаров // Изв Том политехн ун-та 3 Т 3 С Королюк ВС Стохастические модели систем Киев: Наук думка с 7 Назаров АА Теория вероятностей и случайных процессов: учеб пособие / АА Назаров АФ Терпугов -е изд испр Томск: Изд-во НТЛ 4 с 8 Назаров АА Метод асимптотического анализа в теории массового обслуживания / АА Назаров СП Моисеева Томск: Изд-во НТЛ 6 с 9 Корн Г Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г Корн Т Корн М: Наука с Рыков ВВ Математическая статистика и планирование эксперимента: учеб пособие / ВВ Рыков ВЮ Иткин М: МАКС Пресс 38 с Моисеев Александр Николаевич Канд техн наук доцент каф программной инженерии Томского государственного университета (ТГУ) Тел: 8 (38-) Эл почта: Назаров Анатолий Андреевич Д-р техн наук профессор зав каф теории вероятностей и математической статистики ТГУ Тел: 8 (38-) Эл почта: Moiseev AN Nazarov AA Asymptotic analysis of the high-intensive semi-markovian arrival process Investigation of the high-intensive semi-markovian arrival process is presented in the paper It is shown that a distribution of the number of arrivals in the process during some period under asymptotic condition of an infinite growth of the process rate can be approximated by normal distribution The characteristics of the approximation are obtained as well The analytical results are supported by numeric examples Keywords: high-intensive arrival process semi-markovian process asymptotic analysis Доклады ТУСУРа 3 (9) сентябрь 3

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. Баласанян С.Ш. Стратифицированная модель для оценки и анализа эффективности функционирования сложных технологических систем со многими состояниями // Известия Томского политехнического

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РАЗОМКНУТОЙ НЕМАРКОВСКОЙ СЕТИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ HIMMPP (GI) K А. Назаров, А. Моисеев Томский государственный университет Томск, Россия [email protected] В работе представлено

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2008 Управление вычислительная техника и информатика 3(4) УДК 6239; 592 СВ Лопухова ИССЛЕДОВАНИЕ ММР-ПОТОКА АСИМПТОТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ -го ПОРЯДКА В работе рассматривается

С.А. Матвеев, А.Н. Моисеев, А.А. Назаров. Применение метода начальных моментов 9 УДК 59.87 С.А. Матвеев, А.Н. Моисеев, А.А. Назаров Применение метода начальных моментов для исследования многофазной системы

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 7 Управление вычислительная техника и информатика УДК 5987 ТА Карлыханова МЕТОД ПРОСЕЯННОГО ПОТОКА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ СИСТЕМЫ GI/GI/ Для системы массового обслуживания

УДК 6.39.; 59. С.В. Лопухова А.А. Назаров ИССЛЕДОВАНИЕ МАР-ПОТОКА МЕТОДОМ АСИМПТОТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА N -го ПОРЯДКА Рассматривается МАР-поток. Выполнено исследование данного потока методом асимптотического

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 8 Управление вычислительная техника и информатика 4(5) МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УДК 59.87 В.А. Вавилов А.А. Назаров МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕУСТОЙЧИВЫХ

Филиал Кемеровского государственного университета в г. Анжеро-Судженске Национальный исследовательский Томский государственный университет Кемеровский государственный университет Институт проблем управления

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Управление вычислительная техника и информатика 3() УДК 59.87 И.А. Ивановская С.П. Моисеева ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ КРАТНЫХ ЗАЯВОК

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011 Управление, вычислительная техника и информатика 3(16) ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ УДК 519.872 И.Л. Лапатин, А.А. Назаров ХАРАКТЕРИСТИКИ МАРКОВСКИХ СИСТЕМ МАССОВОГО

А.А. Назаров И.А. Семенова. Сравнение асимптотических и допредельных характеристик 187 УДК 4.94:519.872 А.А. Назаров И.А. Семенова Сравнение асимптотических и допредельных характеристик системы МАР/М/

Филиал Кемеровского государственного университета в г Анжеро-Судженске Национальный исследовательский Томский государственный университет Кемеровский государственный университет Институт проблем управления

Статистическая радиофизика и теория информации Лекция 7 8.Марковские цепи с непрерывным временем Марковские цепи с непрерывным временем представляют собой марковский случайный процесс X t, состоящий из

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 9 Управление вычислительная техника и информатика (7) МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УДК 5987 ВА Вавилов МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕУСТОЙЧИВЫХ СЕТЕЙ СЛУЧАЙНОГО

ГЛАВА 5. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ И ДИСКРЕТНЫМ МНОЖЕСТВОМ СОСТОЯНИЙ В результате изучения данной главы студенты должны: знать определения и свойства Марковских процессов с непрерывным

На правах рукописи Задиранова Любовь Александровна ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПОТОКОВ В БЕСКОНЕЧНОЛИНЕЙНЫХ СМО С ПОВТОРНЫМ ОБСЛУЖИВАНИЕМ ТРЕБОВАНИЙ 05.13.18 Математическое моделирование, численные

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 7 Управление вычислительная техника и информатика УДК 59 НВ Степанова АФ Терпугов УПРАВЛЕНИЕ ЦЕНОЙ ПРИ ПРОДАЖЕ СКОРОПОРТЯЩЕЙСЯ ПРОДУКЦИИ Рассматривается управление

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Управление, вычислительная техника и информатика () УДК 59.865 К.И. Лившиц, Я.С. Бублик ВЕРОЯТНОСТЬ РАЗОРЕНИЯ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ ПРИ ДВАЖДЫ СТОХАСТИЧЕСКОМ

УДК 6-5 Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления К.А. Рыбаков В статье вводится понятие спектральных характеристик линейных

На правах рукописи Лапатин Иван Леонидович ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ВЫХОДЯЩИХ ПОТОКОВ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ЧИСЛОМ ПРИБОРОВ 05.13.18 Математическое моделирование, численные

Оглавление Глава Случайные процессы Простая однородная цепь Маркова Уравнение Маркова Простая однородная цепь Маркова 4 Свойства матрицы перехода 5 Численный эксперимент: стабилизация распределения вероятностей

ИНСТИТУТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ГЕОФИЗИКИ СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК МАРЧУКОВСКИЕ НАУЧНЫЕ ЧТЕНИЯ 017 5 июня 14 июля 017 года Труды Редакционная коллегия академик

ИССЛЕДОВАНИЕ RQ-СИСТЕМЫ M GI 1 МЕТОДОМ АСИМПТОТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В УСЛОВИИ БОЛЬШОЙ ЗАГРУЗКИ Е. Моисеева, А. Назаров Томский государственный университет Томск, Россия [email protected] В работе рассмотрена

УДК 6-5:59 НС Демин СВ Рожкова ОВ Рожкова ФИЛЬТРАЦИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ПО НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ С ПАМЯТЬЮ ПРИ НАЛИЧИИ АНОМАЛЬНЫХ ПОМЕХ II НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ В данной работе

Численные методы Тема 2 Интерполяция В И Великодный 2011 2012 уч год 1 Понятие интерполяции Интерполяция это способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям

Український математичний вiсник Том 5 (28), 3, 293 34 О краевых задачах для обыкновенного дифференциального оператора с матричными коэффициентами Анна В Агибалова (Представлена М М Маламудом) Аннотация

Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые оценки и их свойства Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 2. Статистики первого типа. Точеченые Санкт-Петербург,

Управление вычислительная техника и информатика УДК 6-5:59 ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ДИСКРЕТНОГО КАНАЛА НАБЛЮДЕНИЯ С ПАМЯТЬЮ В ЗАДАЧЕ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ НС Дёмин ОВ Рожкова* Томский государственный университет

Статистическая радиофизика и теория информации Лекция 6 7. Марковские* случайные процессы и марковские цепи. *Марков Андрей Андреевич (род. 1890) русский математик, академик Марковский случайный процесс

Сибирский математический журнал Июль август, 2003 Том 44, 4 УДК 51921+5192195 О КОМПОНЕНТАХ ФАКТОРИЗАЦИОННОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДЛЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ В ПОЛОСЕ В С Лугавов

На правах рукописи Горбатенко Анна Евгеньевна ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С КОРРЕЛИРОВАННЫМИ ПОТОКАМИ В СПЕЦИАЛЬНЫХ ПРЕДЕЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы

Управление вычислительная техника и информатика УДК 59. ИНФОРМАЦИОННЫЙ АСПЕКТ В СОВМЕСТНОЙ ЗАДАЧЕ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ И ИНТЕРПОЛЯЦИИ. АНАЛИЗ С.В. Рожкова О.В. Рожкова Томский политехнический

Сибирский математический журнал Июль август, 2005. Том 46, 4 УДК 519.21 О ФАКТОРИЗАЦИОННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ В ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ, ЗАДАННЫХ НА ЦЕПИ МАРКОВА В. И. Лотов, Н. Г. Орлова

Лекция 3 Устойчивость равновесия и движения системы При рассмотрении установившихся движений уравнения возмущенного движения запишем в виде d dt A Y где вектор-столбец квадратная матрица постоянных коэффициентов

Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Лекция ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: построить метод линеаризации функций случайных величин; ввести понятие комплексной случайной величины и получить ее числовые характеристики; определить характеристическую

Моделирование систем с использованием Марковских случайных процессов Основные понятия Марковских процессов Функция X(t) называется случайной, если ее значение при любом аргументе t является случайной величиной.

1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Sin cos R Z cos ImZ cos sin sin Найденные таким образом решения образуют фундаментальную систему решений и следовательно общее решение системы имеет вид или подробнее sin cos cos sin cos cos cos sin sin

Структурная надежность. Теория и практика Каштанов В.А. УПРАВЛЕНИЕ СТРУКТУРОЙ В МОДЕЛЯХ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И НАДЕЖНОСТИ С использованием управляемых полумарковских процессов исследуется оптимальная

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ В ВИДЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ M M И. Синякова, С. Моисеева Национальный исследовательский Томский государственный университет Томск, Россия [email protected]

УДК 59. ТЕОРЕМА РАЗДЕЛЕНИЯ В СЛУЧАЕ НАБЛЮДЕНИЙ С ПАМЯТЬЮ Н.С. Демин, С.В. Рожкова Томский государственный университет Томский политехнический университет E-mail: [email protected] Приводится доказательство

По условию теоремы L B (m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Калашникова ТВ Извеков НЮ Интеграция метода ориентации на спрос в систему ценообразования сети розничной торговли // Известия Томского политехнического университета Т 3 6 С 9 3 Фомин

ИНСТИТУТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ГЕОФИЗИКИ СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК МАРЧУКОВСКИЕ НАУЧНЫЕ ЧТЕНИЯ 217 25 июня 14 июля 217 года Труды Редакционная коллегия академик

ТЕМА 7. Случайные процессы. Цель контента темы 7 дать начальные понятия о случайных процессах и цепях Маркова в частности; очертить круг экономических задач, которые используют в своем решении модели,

Лекция 4. Доверительные интервалы Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2013 1 / 49 Cодержание Содержание 1 Доверительные

Сибирский математический журнал Январь февраль, 2. Том 41, 1 УДК 517.948 АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ М. К. Дауылбаев Аннотация: Рассмотрено сингулярно

Лекция Моделирование систем с использованием Марковских случайных процессов Основные понятия Марковских процессов Функция X(t) называется случайной, если ее значение при любом аргументе t является случайной

7 (), 9 Г. В. Бойкова Î íåêîòîðîì íåèçâåñòíîì ðåøåíèè îäíîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà Аннотация: для дифференциального уравнения второго порядка найдено решение, которое представляет

ЕСТЕСТВЕННЫЕ И ТОЧНЫЕ НАУКИ УДК 57977 ОБ УПРАВЛЯЕМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ С МАЛЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Канд физ-мат наук доц КОПЕЙКИНА Т Б ГУСЕЙНОВА А С Белорусский национальный технический

Компьтерное моделирование. СМО. Лекция 2 1 Оглавление Глава 2. Представление СМО марковским случайным процессом... 1 I. Классификация СМО по Кендалл... 1 II. Марковский случайный процесс... 2 III. Марковские

48 Вестник РАУ Серия физико-математические и естественные науки, 1, 28, 48-59 УДК 68136 ОЦЕНКА ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ ЧАСТЬ 2 ХВ Керобян, НН Хубларян, АГ Оганесян Российско-Армянский

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных

4 (0) 00 Байесовский анализ когда оцениваемый параметр является случайным нормальным процессом Рассмотрена задача байесовского оценивания последовательности неизвестных средних значений q q... q... по

РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

1 Заглавие документа Овсянников А.В. СТАТИСТИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА В СВЕРХРЕГУЛЯРНЫХ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЭКСПЕРИМЕНТАХ ТЕОРИИ ОЦЕНИВАНИЯ // Вест нацыянальнай акадэм навук Беларус, 009. Сер фз-мат. навук. С.106-110

УДК 59 ЕВ Новицкая АФ Терпугов ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ОБЪЕМА ПАРТИИ ТОВАРА И РОЗНИЧНОЙ ЦЕНЫ ПРОДАЖИ НЕПРЕРЫВНО ПОРТЯЩЕЙСЯ ПРОДУКЦИИ Рассматривается задача определения оптимального объема партии товара

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал А. А. Назаров, Т. В. Любина, Немарковская динамическая RQ-система с входящим MMP-потоком заявок, Автомат. и телемех., 213, выпуск 7, 89 11 Использование

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Рассмотрим некоторую физическую систему S={S 1 ,S 2 ,…S n }, которая переходит из состояния в состояние под влиянием каких-то случайных событий (вызовы, отказы, выстрелы). Будем себе это представлять так, будто события, переводящие систему из состояния в состояние, представляют собой какие-то потоки событий.

Пусть система S в момент времени t находится в состоянии S i и может перейти из него в состояние S j под влиянием какого-то пуассоновского потока событий с интенсивностью ij: как только появляется первое событие этого потока, система мгновенно переходит из S i в S j . Как мы знаем, вероятность этого перехода за элементарный промежуток времени (элемент вероятности перехода) равна, отсюда вытекает, что плотность вероятности перехода ij в непрерывной цепи Маркова представляет собой не что иное, как интенсивность потока событий, переводящих систему по соответствующей стрелке. Если все потоки событий, переводящие систему S из состояния в состояние пуассоновские, то процесс, протекающий в системе, будет марковским.

Проставим интенсивности пуассоновских потоков (плотности вероятностей переходов) на графе состояний системы у соответствующих стрелок. Получим размеченный граф состояний. На его основе можно написать уравнения Колмогорова и вычислить вероятности состояний.

Пример. Техническая система S состоит из двух узлов I и II, каждый из которых независимо от другого может отказывать. Поток отказов первого узла пуассоновский с интенсивностью I , второго также пуассоновский с интенсивностью II . Каждый узел сразу после отказа начинает ремонтироваться (восстанавливаться). Поток восстановлений (окончаний ремонта узла) для обоих узлов - пуассоновский с интенсивностью. Составить граф состояний системы и написать уравнение Колмогорова. Состояния системы: S 11 - оба узла исправны; S 21 - первый узел ремонтируется, второй исправен; S 12, S 22 .

t=0 p 11 =1 p 21 =p 22 =p 12 =0

p 11 +p 12 +p 21 +p 22 =1.

Предельные вероятности состояний для непрерывной марковской цепи

Пусть имеется физическая система S={S 1 ,S 2 ,…S n }, в которой протекает марковский случайный процесс с непрерывным временем (непрерывная цепь Маркова). Предположим, что ij =const, т.е. все потоки событий простейшие (стационарные пуассоновские). Записав систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний и проинтегрировав эти уравнения при заданных начальных условиях, мы получим p 1 (t), p 2 (t),… p n (t), при любом t. Поставим следующий вопрос, что будет происходить с системой S при t. Будут ли функции p i (t) стремиться к каким-то пределам? Эти пределы, если они существуют, называются предельными вероятностями состояний. Можно доказать теорему: если число состояний S конечно и из каждого состояния можно перейти (за то или иное число шагов) в каждое другое, то предельные вероятности состояний существуют и не зависят от начального состояния системы. Предположим, что поставленное условие выполнено и предельные вероятности существуют (i=1,2,…n), .

Таким образом, при t в системе S устанавливается некоторый предельный стационарный режим. Смысл этой вероятности: она представляет собой не что иное, как среднее относительное время пребывания системы в данном состоянии. Для вычисления p i в системе уравнений Колмогорова, описывающих вероятности состояний, нужно положить все левые части (производные) равными 0. Систему получающихся линейных алгебраических уравнений надо решать совместно с уравнением.

Схема гибели и размножения

Мы знаем, что имея в распоряжении размеченный граф состояний, можно легко написать уравнения Колмогорова для вероятностей состояний, а также написать и решить алгебраические уравнения для финальных вероятностей. Для некоторых случаев удается последние уравнения решить заранее, в буквенном виде. В частности, это удается сделать, если граф состояний системы представляет собой так называемую «схему гибели и размножения».

Граф состояний для схемы гибели и размножения имеет вид, показанный на рис. 19.1. Особенность этого графа в том, что все состояния системы можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний (S 1 , S 2 , ..., S n-1) связано прямой и обратной стрелкой с каждым из соседних состояний -- правым и левым, а крайние состояния (S 0 , S n) -- только с одним соседним состоянием. Термин «схема гибели и размножения» ведет начало от биологических задач, где подобной схемой описывается изменение численности популяции.

Схема гибели и размножения очень часто встречается в разных задачах практики, в частности -- в теории массового обслуживания, поэтому полезно, один раз и навсегда, найти для нее финальные вероятности состояний.

Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа,-- простейшие (для краткости будем называть и систему S и протекающий в ней процесс -- простейшими).

Пользуясь графом рис. 19.1, составим и решим алгебраические уравнения для финальных вероятностей состояний (их существование вытекает из того, что из каждого состояния можно перейти в каждое другое, и число состояний конечно). Для первого состояния S 0 имеем:

Для второго состояния S 1:

В силу (8.1) последнее равенство приводится к виду

где k принимает все значения от 0 до n. Итак, финальные вероятности р 0 , p 1 ,..., р n удовлетворяют уравнениям

кроме того, надо учесть нормировочное условие

p 0 + р 1 + р 2 +…+ р n =1 (8.3)

Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения (8.2) выразим р 1 через р 0 .

Из второго, с учетом (8.4), получим:

из третьего, с учетом (8.5),

и вообще, для любого k (от 1 до N):

Обратим внимание на формулу (8.7). В числителе стоит произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо (с начала и до данного состояния S k), а в знаменателе -- произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево (с начала и до S k).

Таким образом, все вероятности состояний p 1 , р 2 , …, p n выражены через одну из них (p 0). Подставим эти выражения в нормировочное условие (8.3). Получим, вынося за скобку p 0:

отсюда получим выражение для р 0 .

(скобку мы возвели в степень -1, чтобы не писать двухэтажных дробей). Все остальные вероятности выражены через р 0 (см. формулы (8.4) -- (8.7)). Заметим, что коэффициенты при p 0 в каждой из них представляют собой не что иное, как последовательные члены ряда, стоящего после единицы в формуле (8.8). Значит, вычисляя р 0 , мы уже нашли все эти коэффициенты.

Полученные формулы очень полезны при решении простейших задач теории массового обслуживания.

Задачи теории массового обслуживания. Классификация систем массового обслуживания и их основные характеристики

При исследовании операций часто приходится сталкиваться с работой своеобразных систем, называемых системами массового обслуживания (СМО). Примерами таких систем могут служить: телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, справочные бюро, магазины, парикмахерские и т. п. Каждая СМО состоит из какого-то числа обслуживающих единиц (или «приборов»), которые мы будем называть каналами обслуживания. Каналами могут быть: линии связи, рабочие точки, кассиры, продавцы, лифты, автомашины и др. СМО могут быть одноканальными и многоканальными.

Всякая СМО предназначена для обслуживания какого-то потока заявок (или «требований»), поступающих в какие-то случайные моменты времени. Обслуживание заявки продолжается какое-то, вообще говоря, случайное время Т об, после чего канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времен обслуживания приводит к тому, что в какие-то периоды времени на входе СМО скапливается излишне большое число заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО необслуженными); в другие же периоды СМО будет работать с недогрузкой или вообще простаивать.

В СМО происходит какой-то СП с дискретными состояниями и непрерывным временем; состояние СМО меняется скачком в моменты появления каких-то событий (или прихода новой заявки, или окончания обслуживания, или момента, когда заявка, которой надоело ждать, покидает очередь). Чтобы дать рекомендации по рациональной организации этого процесса и предъявить разумные требования к СМО, необходимо изучить СП, описать его математически. Этим и занимается теория МО.

Предмет теории массового обслуживания -- построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, правила работы, характер потока заявок) с интересующими нас характеристиками -- показателями эффективности СМО, описывающими, с той или другой точки зрения, ее способность справляться с потоком заявок. В качестве таких показателей (в зависимости от обстановки и целей исследования) могут применяться разные величины, например: среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени; среднее число занятых каналов; среднее число заявок в очереди и среднее время ожидания обслуживания; вероятность того, что число заявок в очереди превысит какое-то значение, и т. д. Область применения математических методов теории МО непрерывно расширяется и все больше выходит за пределы задач, связанных с «обслуживающими организациями» в буквальном смысле слова. Как своеобразные СМО могут рассматриваться: ЭВМ, системы сбора и обработки информации, автоматизированные производственные цеха, поточные линии, транспортные системы, системы ПВО и т.п.

Математический анализ работы СМО очень облегчается, если процесс этой работы -- марковский. Для этого достаточно, чтобы все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние (потоки заявок, потоки «обслуживаний»), были простейшими. Если это свойство нарушается, то математическое описание процесса становится гораздо сложнее и довести его до явных, аналитических формул удается лишь в редких случаях. Однако все же аппарат простейшей, марковской теории массового обслуживания может пригодиться для приближенного описания работы СМО даже в тех случаях, когда потоки событий -- не простейшие. Во многих случаях для принятия разумного решения по организации работы СМО вовсе и не требуется точного знания всех ее характеристик -- зачастую достаточно и приближенного, ориентировочного. Причем, чем сложнее СМО, чем больше в ней каналов обслуживания, тем точнее оказываются эти приближенные формулы.

Потоки событий Это последовательность событий происходящих одно за другим в определенные интервалы времени. T - средняя величина времени между соседними событиями Если T=const, то события в потоке распределены равномерно. - интенсивность потока, т. е. среднее число событий, происходящих в единицу времени.

Потоки событий Стационарный Количество событий, попадающих на любой произвольный интервал времени не зависит от положения на числовой оси, а зависит только от его ширины Без последействия Для любых двух непересекающихся временных интервалов количество событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий произошло на другом интервале Регулярный Противоположный потоку без последействия (с последействием)

Потоки событий Ординарный В любой момент времени происходит одно и только одно событие, т. е. вероятность появления на бесконечно малом временном интервале двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления одного события Пуассоновский Нестационарный, ординарный поток без последействия Простейший Стационарный, ординарный поток без последействия, для которого число событий, появляющихся за промежуток времени, распределено по закону Пуассона, а интервалы времени между двумя последовательными событиями характеризуются показательным распределением. Это стационарный пуассоновский поток.

Экономическое применение Современные финансово – банковские операции предполагают погашение задолженности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций. Такого рода последовательность, или ряд платежей, можно назвать потоком платежей. Поток платежей все члены которого – положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой. Рентой является последовательность получения процентов по облигациям, платежи по потребительскому кредиту, выплаты в рассрочку страховых премий. Характеристики потока платежей: интервал между двумя соседними платежами, вероятности выплаты платежа, широко применяются в различных финансовых расчетах. Без них невозможно разработать план последовательного погашения задолженности, измерить финансовую эффективность проекта, осуществить сравнение или безубыточное изменение условий контрактов.

Задача Для анализа изменения с течением времени размера текущего фонда банка, занимающегося выдачей долгосрочных ссуд, важно обладать информацией о процессе поступления в банк выплат по займам. Наблюдение за банком в предшествующем периоде показало, что число поступающих в банк выплат за любой промежуток времени не зависит от момента времени с которого начался отсчет промежутка времени, а зависит только от его продолжительности. Ожидаемое число выплат в банк за неделю равно 2. Исследуем, какова вероятность поступления в банк за месяц 7 выплат и найдем вероятность того, что интервал времени между двумя соседними выплатами меньше 2 дней.

Решение По условию задачи поток выплат можно считать простейшим с интенсивностью =2 (за неделю). Следовательно, число выплат, поступивших за промежуток времени =4 недели (1 месяц), распределено по закону Пуассона. Интервалы времени между двумя последовательными выплатами в простейшем потоке имеют показательный закон распределения.

Решение Пусть X() - дискретная случайная величина, представляющая собой число выплат, поступивших за промежуток времени. Она распределена по закону Пуассона. M(X)=D(X)= Тогда - вероятность того, что за промежуток времени в потоке наступят точно m событий равна Следовательно, при интенсивности потока выплат =2 вероятность поступления в банк за месяц (=4) 7 выплат (m=7) равна

Решение Пусть непрерывная случайная величина T - промежуток времени между двумя любыми соседними выплатами (событиями простейшего потока). Она имеет показательный закон распределения. M(T)=1/ , D(T)=1/ 2 Тогда вероятность P(T

Задачи для самостоятельного решения 1. Обычно студент приходит на остановку ровно в 8 часов утра и, сев в первый пришедший автобус, идущий в направлении университета, вовремя прибывает на занятия, которые начинаются ровно в 9 утра. Интервалы движения автобуса составляют в среднем 10 минут, а время в пути автобуса равно 30 минутам. Пусть поток автобусов является простейшим. Найдите вероятность того, что студент все же опоздает на занятия.

Задачи для самостоятельного решения 2. Поток заявок, поступающих в некоторую систему массового обслуживания, достаточно моделируется простейшим. При изучении опытных данных рассматривалось 200 выбранных наудачу промежутков времени длиной в 2 мин. Оказалось, что число тех из них, в которых не было зарегистрировано ни одной заявки, равно 27. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение числа заявок за 1 час.

Основные понятия Под системой S будем понимать всякое целостное множество взаимосвязанных элементов, которое нельзя расчленить на независимые подмножества. Если система S с течением времени t изменяет свои состояния S(t) случайным образом, то говорят, что в системе S протекает случайный процесс. В любой момент времени система пребывает только в одном из состояний, то есть для любого момента времени t найдется единственное состояние Si такое, что S(t) = Si. Множество состояний может быть дискретно (техническое состояние объекта: исправен - неисправен, загружен - находится в простое; численность персонала; количество объектов, ожидающих обслуживания в очереди) или непрерывно (доход, объем производства).

Основные понятия В случае дискретного множества состояний система меняет свои состояния скачком (мгновенно). В случае же непрерывного множества состояний переход системы происходит непрерывно (плавно). В зависимости от времени пребывания системы в каждом состоянии различают процессы с дискретным временем (искусственная числовая сетка времени) и с непрерывным временем (физическое время, переход системы из одного состояния в другое может осуществляться в любой момент времени). Случайный процесс, протекающий в системе S, называется Марковским, если он обладает свойством отсутствия последствия, состоящим в том, что для каждого момента времени t 0 вероятность любого состояния S(t) системы S в будущем (при t>t 0) зависит только от ее состояния S(t 0) в настоящем (при t=t 0) и не зависит от того, как и сколько времени развивался этот процесс в прошлом (при t>t 0).

А. А. Марков (1856 - 1922) Андрей Андреевич Марков - старший - выдающийся русский математик, разработавший основы теории случайных процессов без последействия, которые в математике называют Марковскими процессами в его честь. А. А. Марков - старший известен также как давший вероятностное обоснование метода наименьших квадратов (МНК), приведший одно из доказательств предельной теоремы теории вероятностей и многое другое.

Виды Марковских процессов Дискретные состояния и дискретное время (цепь Маркова) Непрерывные состояния и дискретное время (Марковские последовательности) Дискретные состояния и непрерывное время (непрерывная Марковская цепь) Непрерывные состояния и непрерывное время. На практике большинство задач по Марковским процессам описываются с помощью Марковских цепей с дискретным или непрерывным временем.

Марковские цепи Цепью Маркова называют такую последовательность случайных событий, в которой вероятность каждого события зависит только от состояния, в котором процесс находится в текущий момент и не зависит от более ранних состояний.

Задание Марковской цепи множеством состояний S = {s 1, …, sn}, событием является переход из одного состояния в другое в результате случайного испытания вектором начальных вероятностей (начальным распределением) p(0) = {p(0)(1), …, p(0)(n)}, определяющим вероятности p(0)(i) того, что в начальный момент времени t = 0 процесс находился в состоянии si матрицей переходных вероятностей P = {pij}, характеризующей вероятность перехода процесса с текущим состоянием si в следующее состояние sj, при этом сумма вероятностей переходов из одного состояния равна 1

Виды Марковских цепей Марковская цепь называется однородной, если переходные вероятности от времени не зависят, то есть от шага k к шагу (k+1) не меняются. Разложимые Марковские цепи содержат невозвратные состояния, называемые поглощающими. Из поглощающего состояния нельзя перейти ни в какое другое. На графе поглощающему состоянию соответствует вершина, из которой не выходит ни одна дуга. Эргодические Марковские цепи описываются сильно связанным графом. В такой системе возможен переход из любого состояния в любое состояние за конечное число шагов.

Цель моделирования - определить вероятность системы находится в j-ом состоянии после k-го шага. Обозначим эту вероятность - однородная Марковская цепь - неоднородная Марковская цепь

Задача № 1 Некоторая совокупность рабочих семей поделена на три группы: 1 – семьи, не имеющие автомашины и не намеревающиеся ее приобрести; 2 – семьи, не имеющие автомашины, но собирающиеся ее приобрести, и, наконец, 3 – семьи, имеющие автомашину. Статистические обследования дали возможность оценить вероятность перехода семей из одной группы на протяжении года в другую. При этом матрица перехода оказалась такой:

Задача № 1 Найти: а)вероятность того, что семья, не имевшая машины и не собиравшаяся ее приобрести, будет находиться в той же ситуации через 2 года; б) вероятность того, что семья, не имевшая автомашины и намеревающаяся ее приобрести, будет иметь автомашину через 2 года. (выполнить решение пункта (б) данной задачи самостоятельно)

Решение задачи № 1 а) Дано: т. е. вектор начальных вероятностей p(0)=(1, 0, 0) (сейчас система в состоянии 1) Найти: (через 2 года в состоянии 1) Найдем вероятности системы оказаться в каждом из состояний через 1 год (умножение вектора начальных вероятностей на 1 столбец матрицы переходных вероятностей) (умножение вектора начальных вероятностей на 2 столбец матрицы переходных вероятностей) (умножение вектора начальных вероятностей на 3 столбец матрицы переходных вероятностей)

Решение задачи № 1 Получим вектор вероятностей через 1 год В нашем случае это 1 -ая строка матрицы переходных вероятностей Найдем вероятности системы оказаться в 1 состоянии через 2 года (умножение вектора вероятностей через 1 год, т. е. 1 -ой строки матрицы переходных вероятностей на 1 -ый столбец матрицы переходных вероятностей)

Решение задачи № 1 Вычисления: Ответ: вероятность того, что семья, не имевшая машины и не собиравшаяся ее приобрести, будет находиться в той же ситуации через 2 года равна 0, 64

Задача № 2 Предположим, что некая фирма осуществляет доставку оборудования по Москве: в северный округ (обозначим А), южный (В) и центральный (С). Фирма имеет группу курьеров, которая обслуживает эти районы. Понятно, что для осуществления следующей доставки курьер едет в тот район, который на данный момент ему ближе. Статистически было определено следующее: после осуществления доставки в А следующая доставка в 30 случаях осуществляется в А, в 30 случаях – в В и в 40 случаях – в С; после осуществления доставки в В следующая доставка в 40 случаях осуществляется в А, в 40 случаях – в В и в 20 случаях – в С; после осуществления доставки в С следующая доставка в 50 случаях осуществляется в А, в 30 случаях – в В и в 20 случаях – в С. Таким образом, район следующей доставки определяется только предыдущей доставкой.

Задача № 2 Если курьер стартует из центрального округа, какова вероятность того, что осуществив две доставки, он будет в южном округе? Выполните решение задачи самостоятельно: Составьте матрицу переходных вероятностей Нарисуйте граф данного процесса Вычислите искомую вероятность

Предельные вероятности Для эргодических цепей при достаточно большом времени функционирования (t стремится к бесконечности) наступает стационарный режим, при котором вероятности состояний системы не зависят от времени и не зависят от распределения вероятностей в начальный момент времени. Такие вероятности называются предельными (или финальными, стационарными) вероятностями состояний, они показывает среднее относительное время пребывания системы в определенном состоянии. Например, если предельная вероятность i-го состояния pi=0. 5, то это означает, что в среднем половину времени система находится в i-ом состоянии.

Предельные вероятности Пусть xi – предельные вероятности (i=1. . n), где n – число состояний. Тогда xi являются единственным решением системы линейных уравнений. В данную систему входят уравнения:

Пример Матрица переходных вероятностей (число состояний n=2) и графическое изображение Марковского процесса: Предельные вероятности x 1 и x 2 можно найти, решив систему

Задача № 3 Две машины А и В сдаются в аренду по одной и той же цене. Эти машины имеют следующие матрицы переходных вероятностей: где 1 – состояние, когда машина работает хорошо; 2 – состояние, когда машина требует регулировки. Определить вероятности для обеих машин. Какую машину стоит арендовать?

Задача № 4 Посетитель банка с намерением получить кредит проходит ряд проверок (состояний): е 1 – оформление документов; е 2 – кредитная история; е 3 – возвратность; е 4 – платежеспособность. По результатам проверки возможны два исхода: отказ в выдаче кредита (е 6) и получение кредита (е 5).

Задача № 4 Требуется: a) описать данный процесс как Марковскую цепь и построить переходную матрицу (выполнить самостоятельно); б) найти среднее время получения положительного и отрицательного результата (решение в Excel).

СМО – система, подразумевающая наличие в ней 2х процессов: поступления заявок и обслуживания заявок.

Условно схема представляется в виде

И Накопитель К

Обслуживающий прибор

Процесс поступления заявок – процесс по времени.

Поток событий – последовательность моментов времени наступления каких-либо событий.

С любой СМО связаны 3 потока:

1) входной поток. Последовательность моментов времени поступления заявок

2) выходной поток. Последовательность моментов времени ухода обслужившихся заявок.

3) поток обслуживаний. Последовательность моментов времени окончания ослуживания заявок в предположении что обслуживание осуществляется непрерывно.

Поток характеризуется интенсивностью – среднее число событий в единицу времени.

Поток наз-ся регулярным , если интервалы времени между событиями в нём одинаковы. Нерегулярный – если интервалы времени м\ду событиями – случайные величины.

Поток рекуррентный , если интервалы времени между событиями – случайные величины, распределённые по одному и томуже закону.

Поток наз-ся однородным , если он х-ся только множеством {ti} наступивших событий. Неоднородный – если он описывается множеством {ti,fi}, где ti – моменты времени наступления событий, fi – признак заявки.

Сами СМО подразделяются на СМО с отказами и СМО с очередями . СМО с очередями подразделяется на с ограниченной очередью и с неограниченной очередью. Частный случай – ограниченное время ожидания в очереди.

В системах последнего типа заявки, которые не могут быть обслужены сразу, составляют очередь и с помощью некоторой дисциплины обслуживания выбираются из нее. Некоторые наиболее употребляемые дисциплины:

1) FIFO (first in – first out) – в порядке поступления;

2) LIFO (last in – first out) – первой обслуживается поступившая последней;

3) SIRO (service in random order) – в случайном порядке;

4) – приоритетные системы. (абсолютный и относительный приоритеты. При относительном заявки выстраиваются по значению приоритета – вначале высокие, потом ниже.)

Для краткой характеристики СМО Д.Кендалл ввел символику (нотацию)

m - число обслуживающих каналов;

n – количество мест ожидания (емкость накопителя).

k – кол-во источников.

A и B характеризуют соответственно входной поток и поток обслуживания, задавая функцию распределения интервалов между заявками во входном потоке и функцию распределения времен обслуживания.

А и В могут принимать значения:

D – детерминированное распределение;

М – показательное;

Е r – распределение Эрланга;

H r - гиперпоказательное;

G – распределение общего вида.

При этом подразумевается, что потоки являются рекуррентными , т.е. интервалы между событиями независимы и имеют одинаковое распределение. Обязательными в нотации являются первых 3 позиции. По умолчанию если n отсутствует имеем систему с отказами, если отсутствует k, то по умолчанию – один источник.

9. Простейший поток, его свойства и значение при исследовании смо.

Поток, удовлетворяющий следующим трем требованиям, называются простейшим.

1)Поток стационарен , если вероятность поступления заданного числа событий в течение интервала времени фиксированной длины зависит только от продолжительности интервала и не зависит от его расположения на временной оси.

2)Поток ординарный , если вероятность появления двух или более событий в течение элементарного интервала времени
→0 есть величина бесконечно малая по сравнению с вероятностью появления одного события на этом интервале.

3)Поток называется потоком без последействия , если для любых неперекрывающихся интервалов времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие. Иногда это свойство формулируют следующим образом: распределение времени до ближайшего события не зависит от времени наблюдения, т.е. от того, сколько времени прошло после последнего события.

Поток, удовлетворяющий этим трем условиям, называется простейшим.

Для него число событий, попадающих на любой фиксированный интервал времени подчиняется закону Пуассона, поэтому его иначе называют стационарным пуассоновским.

вероятность того, что за интервал времени τ произойдет ровно m событий.

Условие отсутствие последствия (заявки поступают независимо друг от друга) наиболее существенно для простейшего потока.

пуассоновского распределения.

Вероятность того, что за не произойдет не одного события

Вероятность, что за времяпроизойдет хотя бы одно событие

Иногда удобней анализировать систему, рассматривая интервалы между событиями T:

Это показательный закон с интенсивностью .

Математическое ожидание и среднее квадратичное для T:

Свойство отсутствие последействия позволяет использовать для исследования простейшего потока аппарат Марковских цепей.

Введем состояния системы следующим образом – считаем систему, находящейся в состоянии S, если в момент времени t в системе находится S заявок.

Определим вероятность для системы, состояние которой определяется только поступление заявок, того что в момент
система останется в том же состоянии. Очевидно, эта вероятность определяется тем, что за интервал
не поступит ни одной заявки

(S=0, 1, 2…)

Разлагая в ряд, получим:

Вероятность получения хотя бы одной заявки

Аналогичные соотношения можно получить, рассматривая процесс обслуживания заявок.

Простейшие или близкие к ним потоки часто встречаются на практике.

При суммировании достаточно большого кол-ва потоков с последействием, получается поток с последействием. В простейшем потоке приблизительно 68% маленьких интервалов

При вероятностном просеивании простейшего потока получается простейший поток

10. Непрерывно-стохастические модели (Q -схемы). Одноканальная СМО с блокировкой. Построение графа состояний .

При построении моделей такого рода как правило, используются рассмотрения моделируемых объектов, как Систем Массового Обслуживания (СМО).

Таким образом могут быть представлены различные по своей физической природе процессы – экономические, технические, производственные и т.д.

В СМО можно выделить два стохастических процесса:

Поступление заявок на обслуживание;

Обслуживание заявок.

Поток событий – последовательность событий, происходящих одно за другим в некоторые моменты времени. В СМО будем выделять два потока:

Входной поток: множество моментов времени поступления в систему заявок;

Поток обслуживания: множество моментов окончания обработки системой заявок.

В общем случае СМО элементарного вида может быть представлено следующим образом

Обслуживающий прибор

И – источник;

О – очередь;

К – канал обслуживания.

Одноканальная СМО с блокировкой . Система M / M / 1/ n

Рассмотрим двухфазную систему, для которой при исследовании P – схем полагали детерминированный входной и просеянный поток обслуживания.

Считаем, что теперь входной поток пуассоновский с интенсивностью, а поток обслуживания – пуассоновский с интенсивностью.

Как и прежде, дисциплина обслуживания FIFO с блокировкой источника.

Состояние – число заявок в системе.

Всего возможно n +3 состояния: от 0 до n +2 .

Обозначим
- вероятность прихода за
i заявок;

- вероятность обслуживания за
i заявок.

ввиду ординарное

Аналогично

+
=

1-
+

Система уравнений:
и
- вероятности состояний.

при
получим

Ввиду стационарности потоков имеем:

и
,

Аналогично для остальных строк системы.

Окончательно имеем:

Получена система алгебраических уравнений.

Преобразуем её, начиная со второго и заканчивая предпоследним - новое уравнение получаем сложением старого с новым предыдущим.

В результате новое предпоследнее будет совпадать со старым последним уравнением:

i=0, 1,….n+1

Обозначим

,

Используем уравнеие нормировки

;

;

Это сумма геометрической прогрессии:

Cреднее время обсл. заявки